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CONJUNTOS
Los primeros resultados importantes de la teoría de conjuntos fueron desarrollados por el matemático alemán George Cantor (1845 – 1918) alrededor de 1875. Las ideas de Cantor, por ejemplo, discrepan de simples ideas intuitivas como “el todo es mayor que cualquiera de las partes”
Los principales matemáticos de esos tiempos formaban un grupo conservador, y no se abrieron a las ideas que diferían radicalmente de aquellas que ellos sustentaban. En consecuencia, muchos de los más connotados rechazaban los resultados de Cantor y lo combatieron tanto en lo personal como en el terreno profesional. Los ataques que a lo largo de los años sufrieron él y sus resultados, formaron una pesada cadena imposible de resistir. Finalmente, tuvo una crisis nerviosa, y murió en un hospital para enfermos mentales.
1. DEFINICIÓN
La idea de conjunto es básica en el pensamiento humano. La idea es intuitiva, no definida, pero si entendido por cada persona como resultado de su propia experiencia.
Toda agrupación o colección de objetos es considerado como conjunto, siempre que exista un criterio preciso que nos permita afirmar que un objeto pertenece o no a dicha agrupación. Los objetos que pertenecen al conjunto se llaman elementos del conjunto.{}
Ejemplos.
§ Los números 1,2, 3 y 4 forman un conjunto de cuatro elementos.
§ Los días de la semana forman un conjunto de siete elementos.
§ Los números impares comprendidos entre 6 y 13 forman un conjunto de tres elementos.
2. NOTACIÓN
Los conjuntos se denotan por letras mayúsculas: A; B, C, …, X, Y, Z.
Los elementos de los conjuntos se denotan utilizando letras minúsculas: a, b, c, …, x, y, z.
Los elementos de los conjuntos se encierran entre llaves. {a, e, i, o, u }
Ejemplo:
Si un conjunto A esta formado por los elementos 3, 4, a , c, se escribe:
A = {3, 4, a, c } y se lee: “A es el conjunto formado por los elementos 3, 4, a , c”.
3. RELACIÓN DE PERTENENCIA
La relación de pertenencia ( Î ) o no pertenencia ( Ï )se establece entre elementos y conjuntos.
Ejemplo: Dado el conjunto A = {1, 2, 3, 4 } se tiene:
1 Î A 1 Ï A 4 Î A 7 Ï A
4. DETERMINACIÓN DE CONJUNTOS - (Vídeo)
Los conjuntos de determinan de dos formas: por extensión y por comprensión.
A) POR EXTENSIÓN. - Decimos que un conjunto esta determinado por extensión, cuando es posible precisar explícitamente los elementos, escribiéndolos uno a continuación de otro, separados por una coma y encerrados entre llaves.
Ejemplos:
1) M = {a, e, i, o,u }, se lee: “M es el conjunto de todas las vocales del alfabeto castellano”
2) N = {3, 4, 5, 6 }, se lee: “ N es el conjunto formado por los números naturales mayores que 2 pero menores que 7 ” . También se dice “N es el conjunto formado por los números naturales mayores o igual que 3 pero menores o igual que 6” .
3) M = {5, 10, 15, 20, … }
4) B = {1/2, 2/5, 3/10, 4/7, … }
B) POR COMPRENSIÓN. - Un conjunto está determinado por comprensión, cuando los elementos del conjunto pueden expresarse mediante una propiedad que es característica única y común a ellos.
Ejemplos:
1) A = {x/x es una vocal}, se lee: “A es el conjunto de los elementos x, tales que x es una vocal” o “ A es el conjunto formado por todas las x tal que x es una vocal.
2) B = {x/x es un número entero impar positivo menor o igual que siete}
3) C = {x Î Z/ 0 < x < 8}
5. CONJUNTOS FINITOS E INFINITOS - (Vídeo)
Un conjunto es finito si consta de un determinado número de elementos, es decir, si consta de un primer y último elemento.
Un conjunto es infinito cuando sus elementos no son posibles de contar o numerar.
Ejemplos:
A = {x / x es un mes del año}, es un conjunto finito.
B = {x / x es un número par mayor que 5}, es un conjunto infinito.
C = {3, 4, 5, 6, 7, … }, es un conjunto infinito
D = {x / x es un número par entre 3 y 8 } es un conjunto finito
6. CONJUNTOS NUMÉRICOS
EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS NATURALES:
N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... }
EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS:
Z = { ... , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}
EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS RACIONALES:
Q = { ... , -2 ,-3/2 , -1, -1/2, 0, 1/2, 1,3/2 , 2, ... }
EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS IRRACIONALES:
I = { ... , - p, - e, - Ö2 , Ö2 , e, p }
Ejemplo:
Ö2 = 1,4142135623730950488016887242097...
p = 3,1415926535897932384626433832795...
e = 2,7182818284590452353602874713527...
EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES:
R = Q U I
EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS:
C = { a + bi / a Î R Ù b Î R, i = Ö-1 }
7. RELACIONES ENTRE CONJUNTOS
CONJUNTOS IGUALES - (Vídeo)
Dos conjuntos A y B son iguales si A Ì B Ù B Ì A simultáneamente. Es decir:
A = B Û A Ì B Ù B Ì A
Dos conjuntos son iguales si tienen los mismos elementos, sin tomar en cuenta el orden y la forma de presentación de los elementos.
Ejemplo: Si A = { 1, 2, 4, 8, 16} y B = { 2, 23, Ö16, 42, 70} entonces: A = B
Ejemplo: Si A = { 1, 2, 4, 8, 16} y B = { 2, 23, Ö16, 42, 70} entonces: A = B
porque A tiene los mismos elementos que B.
RELACIÓN DE INCLUSIÓN - (Vídeo)
Se dice que A es un subconjunto de B, si todo elemento de A es también elemento del conjunto B, se denota: A Ì B.
A Ì B Û [" x Î A, x Î B]
Del mismo modo, es suficiente que exista al menos un elemento del conjunto A que no sea elemento de B para que A no sea subconjunto de B.
A Ë B Û [" x Î A, x Ï B]
CONJUNTO POTENCIA P(A) ó (2A)
Es el conjunto formado por todos los subconjuntos de A, incluyendo el vacío f:
P(A) = { x/x Ì A }
Un elemento de P(A) es un subconjunto de A, es decir:
x Î P (A) Û x Ì A
OBSERVACIÓN:
- Al conjunto P(A) también se le llama el conjunto de partes de A.
- Se prueba que, si un conjunto A es finito, tiene “n” elementos, entonces P(A) tiene 2n elementos.
- El conjunto vacío f siempre es elemento del conjunto potencia P(A).
Ejemplo:
Si A = { 2, 3} el conjunto potencia de A es P (A) = { { 2}, { 3}, A, f}
Es decir, se forman subconjuntos de 1 elemento y 2 elementos.
Se observa que el conjunto A tiene 2 elementos, por tanto, el conjunto P(A) tiene 4 elementos.
8. CONJUNTOS ESPECIALES - (Vídeo)
A) CONJUNTO UNITARIO. - Es el conjunto que tiene uno y sólo un elemento.
Ejemplo: A = {4}
B) CONJUNTO VACIO (NULO). - Es el conjunto que no tiene elementos. Se denota simbólicamente por la letra griega f (phi). Ejemplo: A = f o A = { }
B) CONJUNTO UNIVERSAL. - Llamado también conjunto universo y se denota por U, es el conjunto que contiene a todos los conjuntos que son materia de estudio.
Ejemplos:
- El conjunto de los números reales es el conjunto universo de todos los sub conjuntos de R.
- El conjunto de los números reales es el conjunto universo de todos los sub conjuntos de R.
- Si estamos estudiando los conjuntos A, B y C, entonces, el conjunto universal es la reunión de los conjuntos A, B y C.
- U = {x/x es un estudiante ingresante a la universidad el ciclo 2 019 – 1}
1) Determina por extensión cada uno de los siguientes conjuntos:
A = { x Î Z/ x3 – x2 - 10x – 8 = 0} B = { (- 1 )n(n – 1)/ n Î Z+ Ù n < 4 }
C = { x Î N/ 6x3 – 31x2 + 3x + 10 = 0} D = { x Î Z// x2 >0 ; x2 <20 }
E = { (2x - 3)/3 Î Z+/ x Î Z Ù - 4 < x £ 9 } F = { (2n - 1)/n Î Z+ Ù n < 7}
G = { 1/2n/ n ³ 2, n Î N } H = { n/(n2 + 1)/n Î Z+ Ù x < 6}
2) Determina por comprensión los siguientes conjuntos:
A = { - 2; 1; 4; 7; 10 } B = { - 7; - 3; 1; 5; 9; … }
C = { 1; 3/5; 3/7; 1/3; 3/11} D = { 11/3; 9/2; 27/5; 19/3; 51/7 }
E = { 0; 3; 10; 21; 36; …} F = { 2; 3; 6; 11; 18; …}
G = { 1/2; 2/5; 3/10; 4/17; … } H = { 1/3; 2/5; 3/9; 4/17}
3) Si A = { 2; 3; 4 }. Calcula P(A).
4) Si M = { x2- 1/ x Î Z+ Ù x < 4 }. Calcula M(A)
5) Si B = {x/x es un número natural mayor que 2 y menor igual que 6} ¿Cuántos elementos tiene P(A)?
6) Establece la validez de cada una de las siguientes afirmaciones:
A = { x Î Q /10x2 – 13x – 3 = 0} es un conjunto unitario
B = { x Î N / 6 < x < 7} es un conjunto vacío
C = { x / x es un punto de la recta L} es un conjunto finito
D = { x / x es múltiplo de 3} es un conjunto infinito
E = { x Î Z / 6x3 – 11x2 – 4x +4 = 0} es un conjunto unitario
9. OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS
Está constituido por todos los elementos del conjunto A y por todos los elementos del conjunto B.
A È B = {x Î U / x Î A Ú x Î B}
Ejemplo:
Dados los conjuntos A = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} y B = {5, 7, 8, 9, 10}. Calcula A È B.
Solución:
Significa agrupar o reunir los elementos de ambos conjuntos. Los elementos que se repiten o se encuentran en ambos conjuntos se escriben por única vez.
A È B = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
Es el conjunto formado por todos los elementos comunes a los conjuntos A y B.
A Ç B = {x Î U / x Î A Ù x Î B}
Ejemplo:
Sean los conjuntos A = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} y B = {5, 7, 8, 9, 10}. Calcula A Ç B
Solución:
Es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a ambos conjuntos, es decir, a los conjuntos A y B de nuestro ejemplo.
A Ç B = { 5, 7, 8}
Está constituido por todos los elementos del conjunto A que no pertenecen al conjunto B. Es decir, sólo los elementos del primer conjunto, en este caso, sólo los elementos del conjunto A.
A - B = {x Î U / x Î A Ù x Ï B}
Ejemplo:
Dados los conjuntos A = {2, 5, 6, 7, 8, 9} y B = {3, 5, 7, 9}. Calcula A – B.
Solución:
Es decir, sólo los elementos que pertenecen al conjunto A. Los elementos del conjunto A que también son elementos del conjunto B no se consideran.
A – B = {2, 6, 8}
Es el conjunto formado por todos los elementos de U menos los elementos del conjunto A.
Dicho de otra forma, el complemento del conjunto A está formado por los elementos que le faltan al conjunto A para ser igual al conjunto universal.
A ¢ = {x Î U / x Ï A} ó A ¢= U - A
Ejemplo:
Dados los conjuntos U = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} y B = {4, 5, 6}. Calcula M ¢
Solución:
Los elementos que le faltan al conjunto M para ser igual al conjunto universal son:
3, 7, 8 y 9. M ¢ = {3, 7, 8, 9}.
Es la reunión de los elementos que pertenecen exclusivamente a uno solo de los conjuntos A y B.
A D B = {x Î U / (x Î A Ù x Ï B) Ú (x Î B Ù x Ï A)}
A D B = (A – B) È (B – A)
Ejemplo:
Dados los conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} y B = {1, 2, 7, 8, 9}. Calcula A D B.
Solución:
A D B = {3, 4, 5, 6, 8, 9}. Es decir, el conjunto A menos B reunión el conjunto B menos A.
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